postulados e teoremas.
Para desenvolver a geometria, além dos conceitos
primitivos vistos na primeira aula, precisamos fixar também os postulados
[axiomas] e teoremas. Nesta aula veremos também o significado de cada termo e um pouco da história que envolve estes entes geométricos.
As propriedades da geometria apresentadas a seguir, são chamadas postulados e relacionam as noções de ponto, reta, plano e espaço.
- Postulados são proposições que não se demonstram e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
- Postulados são proposições que não se demonstram e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
O significado raiz da palavra
"postular" é "exigir"; por exemplo, Euclides exige que nós concordemos que certas coisas podem ser
feitas, ex: quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta, etc.
A palavra "axioma" vem da palavra grega ἀξίωμα
[axioma], um substantivo verbal do verbo ἀξιόειν [axioein],
que significa "considerar válido", mas também "requerer",
que por sua vez vem da palavra ἄξιος
[axios], que significa "estar em equilíbrio", e, portanto "ter
(o mesmo) valor (de)", "válido", "apropriado". Entre
os filósofos da Grécia Antiga um axioma era uma afirmação que poderia ser vista
como verdade sem nenhuma necessidade de provas.
Os antigos geômetras mantiveram alguma
distinção entre axiomas e postulados. Ao comentar os livros de Euclides, Proclo adverte que "Geminus considerou que este [4º] Postulado
não deve ser classificado como um postulado e sim como um axioma, já que,
diferente dos três primeiros Postulados, ele não declara a possibilidade de
alguma construção, mas sim expressa uma propriedade essencial". Boécio traduziu "postulado"
como “petitio” e chamou os axiomas de
“notiones communes”, mas em
manuscritos posteriores esse uso nem sempre foi estritamente mantido.
- Teoremas são preposições que necessitam de demonstração e complementam
o desenvolvimento da teoria.
Teorema é um termo introduzido
por Euclides, em "Elementos", para significar "afirmação que pode
ser provada". Em grego, originalmente significava
"espetáculo" ou "festa". Atualmente, é mais comum deixar o
termo "teorema" para apenas certas afirmações que podem ser provadas
e de grande importância matemática, o que torna a definição um
tanto quanto subjetiva.
Observação: Os
postulados estão descritos de duas formas diferentes.
Os postulados descritos
dentro dos colchetes [ ] em Laranja (Retas) e Azul (Planos) mostram uma destas formas diferentes de
interpretação destes postulados.
Existem várias maneiras de
interpretar um mesmo fato (acontecimento), procure focar no modo que mais se
adapta aos seus estudos.
1º - Postulado da existência
a) Existe reta, e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
[Pr1: Uma reta contém infinitos pontos]
[Pr1: Uma reta contém infinitos pontos]
b) Existe plano, e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.
[Pp1: Um plano contém infinitos pontos]
[Pp1: Um plano contém infinitos pontos]
2º - Postulado da Determinação
a) Dois pontos
distintos determinam uma única reta que passa por eles.
[Pr2: Dois pontos distintos determinam uma reta]
[Pr2: Dois pontos distintos determinam uma reta]
b) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
[Pp2: Três pontos não-colineares determinam um plano]
3º - Postulado da inclusão
Se uma reta tem dois
pontos distintos num plano, então ela está contida no plano. [Pp3: Uma reta está contida num plano, se dois de seus pontos
pertencem ao plano]
Na figura abaixo, temos:
4º - Postulado das paralelas
Por um ponto P, situado fora de uma reta
r, passa uma única reta paralela à reta dada.
Na figura, dada à reta r, temos: P ∈ s, s // r, s é única.
Este postulado, conhecido
também como “Axioma de
Euclides” [300 a.C.], é a
propriedade que caracteriza a Geometria Euclidiana. Numa histórica obra chamada
“Elementos”, Euclides organizou a geometria de modo a poder deduzir os teoremas
a partir dos postulados que ele estabeleceu no início da exposição. A geometria
que estamos estudando agora é denominada Euclidiana em homenagem a esse matemático
grego.
Note que o “Postulado de Euclides” afirma a unicidade da paralela.
5º - Postulado da separação
Toda reta r de um plano α separa-o em
duas partes na quais ela está contida; qualquer segmento de reta com um extremo
em cada parte e nenhuma nesta reta de separação intercepta-a em um único ponto.
[PP4: Uma reta r de um plano α separa-o em dois semiplanos α1
e α2 e a origem dos semiplanos é a reta dada ]
Observação: α1 e α2 são semiplanos opostos de α.
Assim α1 ∩ α2
= r e α1 ∪ α2
= α
REFERÊNCIAS:
Matemática: Volume único / Gelson
Iezzi...[et al.]. – São Paulo: Atual, 2002.
Bezerra, Manoel Jairo,1920- Matemática
para o ensino médio: Volume único/Manoel Jairo Bezerra. – São Paulo: Scipione,
2001. – (Série Parâmetros)
Tizziotti, José Guilherme, 1944 –
Matemática: 2º grau/ José Tizziotte, Damian Schor. – São Paulo : Ática, 1980.
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