Exemplos e Exercicios

EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA COM EXEMPLOS

Nesta aula vamos fazer alguns comentários e praticar alguns exercícios para assimilar o conteúdo visto até aqui. Vamos resolver e comentar um teste para elucidar alguns termos.

Exemplo 1. 

a)  Três pontos distintos determinam um único plano.

b)   Os vértices de um triângulo são coplanares.

c)   Se três pontos são coplanares, então eles são colineares.

Respostas e justificativas:

a)  Falsa. Três pontos distintos podem estar numa mesma reta e nesse caso eles não determinam um único plano. [Fig. 1]. Os três pontos precisariam não ser colineares para que ficasse determinado um único plano [Fig. 2].

b) Verdadeira. Os vértices de um triângulo são três pontos não colineares. 
Eles determinam um plano que contém o triângulo [Fig. 2].

c)   Falsa. Três pontos podem ser coplanares sem estarem na mesma reta [Fig. 2].

Exemplo 2.

Vejamos quantos são os planos determinados por três retas, duas a duas concorrentes, todas passando num mesmo ponto.

Sendo a,b e c as retas, há duas possibilidades: ou as retas estão num mesmo plano α [ Fig. 1 ] ou os planos α = (b,c) , β = (a,c) e γ = (a,b) estão determinados [ Fig. 2 ] . 

Logo, as três retas determinam um ou três planos.

Exercícios:

1 - Classifique cada sentença como verdadeira ou falsa:

a)                 Dado um ponto, existe uma única reta passando por ele.

b)                 Dado um ponto, existe uma reta passando por ele.

c)                 Dado um ponto, existem infinitas retas que o contêm.

d)                 Dados dois pontos distintos, existe um plano que os contém.

e)                 Três pontos não alinhados determinam três retas.

f)                   Três pontos não alinhados determinam um plano.

g)                 Três retas determinam um plano.

h)                 Um ponto e uma reta que não o contém determinam um plano.

2 – Quatro pontos, A, B, C, D não são coplanares. Quantos planos eles determinam? Quais são?

3­ –  É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam, obrigando a colocação de um calço em uma das pernas. Com base no que você estudou até aqui, explique por que isso acontece.

4 - Quantos planos são determinados por três retas distintas, duas a duas concorrentes e que não passam por um mesmo ponto?

5- Quantos são os planos determinados por três retas distintas, duas a duas paralelas?

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